Nacido en 1859 en Madrid, aunque pasó su más tierna infancia en Siruela, en Badajoz, es reconocido especialmente por ser el fundador de la Sociedad Española de Dermatología y Sifilografía, hoy conocida como Academia Española de Dermatología y Venereología (AEDV). 

En 1875 empieza la carrera de Medicina con el preparatorio, y en 1877 ingresa como interno en las clínicas de los Dres. Creus, Olivares (Tocólogo) y Cortejana donde al realizar una cura a un paciente afectado de blenorragia su ojo izquierdo se ve afectado y lo pierde en cuestión de días. 

Se licencia el 28 de Marzo 1879 y en el 1880 realiza oposiciones a Sanidad Militar obteniendo plaza que no ocupa, posteriormente en 1982 gana por oposición una plaza en la Beneficencia Municipal. Realizó oposiciones para el Hospital de la Princesa sin obtener plaza y posteriormente en 1885 ingresa en la Beneficencia Provincial. En 1887 es destinado al Hospital San Juan de Dios a un servicio de suplente y en 1889 es encargado de un servicio fijo de consulta dermatológica.

Siendo ya encargado de la consulta de Dermatología en el Hospital San Juan de Dios, en el año 1892 fue nombrado profesor especial encargado de la enseñanza libre de Dermatología y Sifilografía en la Facultad de Medicina, labor que realizó hasta 1909.

Fue discípulo de Olavide pero se conoce poco de su relación con Olavide a su ingreso en San Juan de Dios, en esa época Olavide estaba consagrado como figura de la dermatología española y europea, se sabe que  Azúa en un comienzo abrazó la concepción baziniana de la dermatología que era la que protagonizaba Olavide e imperaba en España, en esta visión entendía las enfermedades cutáneas como el resultado externo de distintas tendencias o “diátesis” internas de cada individuo. Con el tiempo, cuando su práctica clínica fue en aumento y su evidencia práctica más precisa, Azúa abandonó esta teoría para abrazar con profunda convicción los principios de la escuela anatomopatológica creada por Hebra en Viena a mediados del siglo XIX.

En el año 1904 publica, en colaboración con Claudio Sala, su obra magistral: “Pseudoepiteliomas cutáneos”, que presenta en el Congreso Internacional celebrado en Madrid. En 1909 funda la “Revista Clínica de Madrid”, en unión de Elcigaray, Goyanes, Medinabeitia, Cardenal y Salas, y Ortiz de la Torre. Revista que no tardó en ser absorbida por el “Siglo Médico” y por la constitución de la Academia Española de Dermatología y Sifilografía, a la cual Azúa dedica su tiempo y la mayoría de sus trabajos y comunicaciones originales.

En la sesión de la Real Academia de Medicina del 16 de Abril de 1916 presidida por el Dr. Cortezo fue elegido Académico electo con destino a la Sección de Cirugía, no pudo tomar posesión de tal cargo por lo que no fue académico de número, su fallecimiento impidió que tomara dicho honor en 1922, cuando ya todo estaba dispuesto para ello.

En 1918 y en plenos días de gloria y de felicidad, cuando su escuela conquistaba la máxima consagración en el extranjero, sufrió un ataque de hemiplejía, por embolia cerebral. Supo aún sobreponerse a tan grave dolencia y arrastrando su parálisis continuó viendo enfermos, publicando, estudiando y asistiendo a Cátedra. Murió el día 5 de Mayo de 1922, la misma mañana, la había dedicado a enseñar a los alumnos las figuras del Museo Olavide que se encontraba en el Hospital San Juan de Dios.